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During year 2004/2005, i followed the DEA **analyse numerique** from the
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university of [Paris VI](http://www.upmc.fr). This is now called
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[parcours Analyse Numérique & Équations aux Dérivées
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Partielles](http://www.ann.jussieu.fr/ANEDP).
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The last chapters are in French.
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## Research Internship
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I worked on a new way of doing multiscale image analysis. The idea was
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to use the knowledege about disocclusion or
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[inpainting](http://en.wikipedia.org/wiki/Inpainting) in order to
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predict the image at a lower lower. One application could be find new
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compression algorithm. My advisors were [Albert
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Cohen](http://www.ann.jussieu.fr/~cohen/) and [Simon
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Masnou](http://www.ann.jussieu.fr/~masnou/).
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[Read my report
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(English)](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/stage/rapport.pdf)
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## Videos
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I did several videos that could have an academic interest.
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[1](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/stage/Lenna_haar_reconstruction.avi)
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this one shows the image reconstruction from its decomposition on a
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*Haar* Basis. Haar basis are the first and simpler example of wavelets.
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The following videos are experiments related to the methods described in
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my report.The two numbers are the corresponding values for alpha and
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beta.
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- [CompressionInterp-.5-.5.avi](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/stage/results/CompressionInterp-.5-.5.avi)
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- [CompressionInterp-.5-1.avi](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/stage/results/CompressionInterp-.5-1.avi)
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- [CompressionInterp-1-.5.avi](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/stage/results/CompressionInterp-1-.5.avi)
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- [CompressionInterp-1-1.5.avi](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/stage/results/CompressionInterp-1-1.5.avi)
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- [CompressionInterp-1-1.avi](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/stage/results/CompressionInterp-1-1.avi)
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- [CompressionInterp-1-2.avi](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/stage/results/CompressionInterp-1-2.avi)
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- [CompressionInterp-1.5-1.avi](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/stage/results/CompressionInterp-1.5-1.avi)
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- [CompressionInterp-2-1.avi](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/stage/results/CompressionInterp-2-1.avi)
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- [CompressionInterp-2-2.avi](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/stage/results/CompressionInterp-2-2.avi)
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- [CompressionLaplace-.5-.5.avi](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/stage/results/CompressionLaplace-.5-.5.avi)
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- [CompressionLaplace-.5-1.avi](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/stage/results/CompressionLaplace-.5-1.avi)
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- [CompressionLaplace-1-1.avi](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/stage/results/CompressionLaplace-1-1.avi)
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- [CompressionLaplace-1-.5.avi](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/stage/results/CompressionLaplace-1-.5.avi)
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- [CompressionLaplace-1-1.5.avi](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/stage/results/CompressionLaplace-1-1.5.avi)
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- [CompressionLaplace-1-2.avi](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/stage/results/CompressionLaplace-1-2.avi)
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- [CompressionLaplace-1.5-1.avi](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/stage/results/CompressionLaplace-1.5-1.avi)
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- [CompressionLaplace-2-1.avi](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/stage/results/CompressionLaplace-2-1.avi)
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- [CompressionLaplace-2-2.avi](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/stage/results/CompressionLaplace-2-2.avi)
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- [CompressionDisoc-2-1.avi](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/stage/results/CompressionDisoc-2-1.avi)
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- [CompressionDisoc-2-2.avi](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/stage/results/CompressionDisoc-2-2.avi)
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- [CompressionDisoc-1.5-1.avi](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/stage/results/CompressionDisoc-1.5-1.avi)
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- [CompressionDisoc-1-2.avi](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/stage/results/CompressionDisoc-1-2.avi)
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- [CompressionDisoc-.5-1.avi](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/stage/results/CompressionDisoc-.5-1.avi)
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- [CompressionDisoc-1-1.avi](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/stage/results/CompressionDisoc-1-1.avi)
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- [CompressionDisoc-1-1.5.avi](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/stage/results/CompressionDisoc-1-1.5.avi)
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- [CompressionDisoc-1-.5.avi](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/stage/results/CompressionDisoc-1-.5.avi)
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- [CompressionDisoc-.5-.5.avi](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/stage/results/CompressionDisoc-.5-.5.avi)
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## Horror story
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On of the most frightening thing I've ever done with the computer. They
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*requested* me to write something in
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[Fortran](http://en.wikipedia.org/wiki/Fortran), so I did an
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[implementation of the
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heapsort](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/soft/tri_tas.f).
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This was academic enought for them, and I'm now free to never use this
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programming language anymore.
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## Projet EDP et méthodes mathématiques en finance
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 Projet realisé dans le cadre de
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l'évaluation du cours de Messieurs Pironneau et Berestycki.
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J'ai choisi le projet 10, sur les méthodes adaptatives pour la
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résolution de l'équation de Black-Scholes L'énoncé exact est :
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` Run program 5.1 to 5.5. Adapt it to a barrier option with`
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` realistic data. If times allow make the change S -> S/(S+1)`
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` which maps R+ into (0,1) and compute a European put in this`
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` formulation and compare.`
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- [Rapport du
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projet](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/finance/rapport_finance.pdf)
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- [Code source du projet
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(bz2)](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/finance/sources-finance.tar.bz2)
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- [Code source du projet
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(tar.gz)](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/finance/sources-finance.tar.gz)
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## Projet sur les maillages adaptatifs
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Projets realises dans le cadre de l'evaluation du cours de Messieurs
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Hecht et Frey, et réalisé en binôme avec Hanen Amor.
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Nous avons choisit de faire deux projets:
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- Le projet 4 : Interpolation de maillages en O(n)
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- Le projet 8 : Schéma numérique et visualisation 3D pour un problème
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d'interaction de particules
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<!-- -->
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- [Rapport du
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projet](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/maillages/rapport.pdf)
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- [Code source du projet
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(bz2)](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/maillages/projetmaillage.tar.bz2)
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|
- [Code source du projet
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(tgz)](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/maillages/projetmaillage.tgz)
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### Projet interpolation
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Le test suivant vérifie que les lignes de courant sont conservées par
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notre programme d'interpolation. La première image montre une ligne de
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courant sur le maillage d'entrée. La seconde image montre la même ligne
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sur notre maillage interpolé.
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### Projet particules
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- [9 particules n'interagissant
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pas](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/maillages/BouncingMolecule.avi),
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elles rebondissent juste.
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- [validation du tore pour les positions et
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interactions](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/maillages/ValidationTore.avi)
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(40 particules)
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- [un phenomène intéressant ou des particules s'aggrègent puis
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explosent
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finalement.](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/maillages/agg.avi)
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(40 particules)
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- [une version ou tout
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explose](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/maillages/comportementbizarre.avi),
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pour montrer le type de bug/difficultés que l'on peut rencontrer
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pendant le développement.
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## Projet éléments Finis
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(Cours de M.Perronnet)
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L'ensemble du code du projet peut être télécharé ici:
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- [Le projet
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2D](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/ThomasCapricelliFem2d.tgz)
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- [Le projet
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3D](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/ThomasCapricelliFem3d.tgz)
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Le premier contient une copie de fem-v5, légérement modifiée comme
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indiqué dans les pages précédentes, les différentes versions du
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programme Laplace, et les fichiers de données correspondants.
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Le deuxième contient l'ensemble du projet dans sa version 3D.
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### Premiers essais
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J'ai modélisé la coupe transversale d'un tuyau transportant deux fluides
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à température constante. 0 pour le tuyau de gauche, et +10 pour le tuyau
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de droite. L'extérieur du tuyau est à température également constante,
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égale à +5. (On ne peut mettre que des conditions de Dirichlet pour
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l'instant).
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Afin de mieux comprendre ce qu'il se passe, j'ai cassé la symétrie en
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imposant une source asymétrique dans l'épaisseur du tuyau. Pour ce
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premier exemple, le gradient est nul sur l'axe y=x, et est linéaire
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selon l'axe y=-x, négatif en bas à droite, positif en haut à gauche. (La
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formule est du type -x+y)
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La température sur l'ensemble de l'élément est majorée par 0 et 10,
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c'est-à-dire les températures extrêmes.
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J'ai ensuite considéré un gradient nul sur l'axe y=-x, et linéaire selon
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l'axe y=x, négatif en bas à gauche, positif en haut à droite. (La
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formule est essentiellement x+y)
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Contrairement à l'exemple précédent, la température dépasse les valeurs
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extrêmes, en négatif (bas-gauche) ou en positif (haut-droit).
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Documents:
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- [les modifications apportées à
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Laplace.cpp](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/DiffFirstTests.html)
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- [Le fichier
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complet](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/orzel2d_2trous.cpp)
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- [Le fichier mesh
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utilisé](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/orzel_section_2trous.msh)
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### Prise en compte du tenseur de conductivité
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Notre première modification vise à prendre en compte le tenseur de
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conductivité en x et y, c'est-à-dire en fonction du matériau, ou encore,
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en terme Mefisto, du Label.
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On s'est contenté ici d'utiliser une matrice de conductivité diagonale,
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la multiplication par un vecteur revient donc à multiplier chaque
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composante par la composante correspondante de la diagonale.
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L'équation différentielle vérifiée est alors -div\[A(x)\*grad(t(x))\] =
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f(x), où t(x) représente la température en x, et A(x) la matrice du
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tenseur de conductivité. Dans la formulation variationnelle discrétisée,
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on remplace alors le calcul de l'intégrale sur un triangle élémentaire T
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de (grad(wi),grad(wj)) (produit scalaire), par le calcul de l'intégrale
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de (A(x)\*wi,wj). Les wi représentent les fonctions chapeaux sur les
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noeuds du maillage.
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Implémentation : on définit un tableau de matrices, l'indice du tableau
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sera le label du matériau, et chaque matrice sera en fait un tableau de
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deux éléments.
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Documents:
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- [les modifications apportées a
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Laplace.cpp](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/DiffTenseurConductivite.html)
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- [Le fichier
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complet](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/LaplaceConductivite.cpp)
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### Conditions de type Neumann
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Jusqu'à alors, nous ne pouvions utiliser que des conditions de type
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Dirichlet. Je vais rajouter, dans un premier temps, la prise en compte
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de conditions de type Neumann. C'est le plus facile, car il ne faut
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modifier que le second membre.
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Implémentation : Je parcours l'ensemble des côtés qui sont sur la
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frontière. Pour chaque côté, je vérifie d'abord qu'il fait partie d'une
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frontière où il y a des conditions de type Neumann. Sinon, bien sûr, je
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passe au côté suivant.
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J'utilise alors une formule d'intégration numérique en 1D pour calculer
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l'intégrale sur le segment. Il ne reste plus qu'à modifier le second
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membre en conséquence.
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*Premier Test*
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Pour tester cette partie j'ai considéré ce premier exemple : Un carré
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avec un trou au milieu. La température est imposée (Dirichlet) sur le
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carré, avec un gradient linéaire selon l'axe y : -20 degrés en bas, et
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+20 en haut. J'ai imposé une condition de Neumann nulle sur le cercle
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intérieur, je dois donc obtenir des isothermes perpendiculaires à la
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frontière. Ce qui est bien le cas :
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*Tests*
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Je fais ensuite un test plus rigoureux. Je pars d'une solution connue,
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sur un objet facile à manipuler. Je vérifie que le résultat obtenu est
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bien celui attendu. J'ai pris comme objet un anneau, de cercle intérieur
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de rayon 4, et de cercle extérieur de rayon 10. La température est
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téta(x,y)=x\*x+y\*y. Ainsi, l'inverse du laplacien est constant égale à
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-4. Je considère alors le problème avec conditions de Dirichlet sur le
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cercle intérieur (température = 16) et condition de Neumann sur le
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cercle extérieur (le gradient vaut 2(x,y) et la normale unitaire au
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cercle vaut (x,y)/R2, donc la derivée normale vaut 2\*R2). J'obtiens
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ceci:
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Ce qui est déjà prometteur, car la température est distribuée
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radialement entre 4\*4 et 10\*10.
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J'ajoute un test en fin de programme qui calcule le max des différences
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entre les températures obtenues, et celles que j'aurais dû obtenir.
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Voici le code
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` // test de validite`
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` R max = 0.;`
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` R tetamax =0.;`
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` assert ( Ug.N() == Th.nv );`
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` for ( int i = 0 ; i< Th.nv; i++ )`
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` {`
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` R diff;`
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` R2 P;`
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` `
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` P = (R2)(Th.vertices[i]);`
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` diff = Ug[i]-TetaExact(P) ;`
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` diff *= diff; // on prend le carre`
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` if ( diff>max ) max= diff;`
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` if ( Ug[i]>tetamax ) tetamax= Ug[i];`
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` }`
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` printf("Max des carres obtenu : %f\n", max);`
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` printf("Max des tetas obtenu : %f\n\n", tetamax);`
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Avec le premier maillage, correspondant à respectivement 16 et 32
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segments sur les cercles intérieur et extérieur, j'obtiens :
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` Max des carres obtenu : 0.750861 `
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Avec un maillage plus fin, (50 et 200 segments sur les cercles),
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j'obtiens :
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` Max des carres obtenu : 0.005458 `
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Ce qui me parait raisonnable pour des températures entre 16 et 100.
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Documents:
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|
- [les modifications apportées à
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Laplace.cpp](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/DiffNeumann.html)
|
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|
- [Le fichier
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|
complet](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/LaplaceNeumann.cpp)
|
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|
- [Le maillage grossier
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utilisé](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/testfrontiere.msh)
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- [Le maillage fin
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utilisé](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/testfrontiere_big.msh)
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### Conditions de type Robin/Fourier
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L'étape suivante consiste à prendre en compte les conditions de type
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Robin/Fourier. Pour cela, il faut des données supplémentaires :
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- La température extérieure (fluide léchant le bord)
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- Le coefficient d'échange
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Dans la formulation variationnelle correspondante, il faut alors
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modifier à la fois le second membre, et la matrice globale.
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Pour le second membre, on fait exactement comme pour les conditions de
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Neumann, en remplaçant UNeumann(P) par GRobin(P) \* TetaExtRobin(P) avec
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des notations évidentes.
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Concernant les modifications portant sur la matrice, il faut intégrer
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g.wi.wj, pour chaque segment sur la frontière de Robin. Si je considère
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g constant, je peux utiliser la formule intégrale(f) sur \[0,1\] \~
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1/6(f(0)+4f(1/2)+f(1)), qui est exacte sur les polynômes P2 que je
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considère ici. Après changement de variable pour se ramener au segment
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courant, cela revient à g\*longueur(segment)/6, si i est différent de j,
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et à g\*longueur(segment)/3 si i==j.
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*Modifications apportées à fem v5*
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Pour modifier la matrice globale, je n'ai pas trouvé de fonction
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correspondante dans l'API de fem, j'ai donc rajouté la fonction
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Add2x2Matrice aux fichiers MatriceCreuse_tpl.hpp et MatriceCreuse.hpp,
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dont voici le code (clairement inspiré de la fonction operator+=)
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` template`<class R>
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` MatriceCreuse`<R>` & MatriceProfile`<R>`::add2x2Matrice`
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` (int i0, int i1,R a00, R a01, R a11) {`
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` int i,j;`
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` if (!D) { // matrice vide·`
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` cerr << "Big bug empty matrice not handled (yet) in add2x2Matrice" << endl;`
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` exit(1);`
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` }`
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` D[i0] += a00;`
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` D[i1] += a11;`
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` `
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` assert( i0 != i1 );`
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` `
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` i=i0; j=i1;`
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` if (j < i) L[ pL[i+1] - (i-j) ] += a01;`
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` else if (j > i) U[ pU[j+1] - (j-i) ] += a01;`
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` `
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` i=i1; j=i0;`
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` if (j < i) L[ pL[i+1] - (i-j) ] += a01;`
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` else if (j > i) U[ pU[j+1] - (j-i) ] += a01;`
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` `
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` return *this;`
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` }`
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*Tests*
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Pour tester cette partie, j'ai utilisé le même exemple qu'avec les
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conditions de Neumann. J'impose toujours la température sur la frontière
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intérieure (Dirichlet, donc). Je fixe une température extérieure
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(TetaR=1000 dans cet exemple). La valeur de g se calcule facilement : g
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= - 2\*R2/(TetaR-R2\*R2).
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J'obtiens, avec le maillage fin :
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` Max des carres obtenu : 0.299266`
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Qui paraît, encore une fois, raisonnable. Je note quand même que la
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précision est moindre que dans l'exemple avec Dirichlet+Neumann.
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Documents:
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- [les modifications apportées à
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Laplace.cpp](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/DiffRobin.html)
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- [Le fichier
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complet](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/LaplaceRobin.cpp)
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- [Le maillage fin
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utilisé](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/testfrontiere_big.msh)
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### Exemple concret en 2D, sans condition de robin
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Pour traiter un exemple, j'ai choisi de modéliser la température d'une
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pièce en L dont voici le maillage :
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L'intérieur représente l'air de la pièce, les trois petites surfaces
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représentent des murs (oui, assez épais, disons qu'il s'agit d'un
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morceau de château..). Le bâtiment se prolonge sur la gauche et vers le
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bas, c'est pour cela que je n'ai pas mis de murs à ces endroits. Il y a
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deux fenêtres, une grande et une petite. Je n'ai pas modelisé de portes
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car c'est inutile vu les conditions utilisées.
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Bien entendu, l'air de la pièce et les murs n'ont pas la même
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conductivité.
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Les conditions imposées sont les suivantes :
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- Température de 0 degré à l'extérieur, sur le mur et la fenêtre de
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droite (Dirichlet)
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- Température de 20 degrés sur les murs intérieurs (Dirichlet)
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- Le mur et la fenêtre du haut sont baignés par le soleil (Condition
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de Neumann)
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Voici ce que j'obtiens:
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On note que le gradient est bien plus grand dans les murs, qui jouent
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évidemment le rôle d'isolant par rapport à l'extérieur. On observe bien
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de quelle manière la fenêtre de droite fait passer le froid.
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*Exemple complet avec condition de robin*
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La température est alors plus homogène dans la pièce (Regarder la
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surface où la température est entre 20 et 18 degrés)
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Documents:
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- [les modifications apportées à
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Laplace.cpp](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/DiffProjet2d.html)
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- [Le fichier
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complet](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/LaplaceProjet2d.cpp)
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- [Le maillage de la
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pièce](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/piece.msh)
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- [Le maillage de la pièce avec le
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radiateur](http://www.freehackers.org/media/orzel/dea/piecerobin.msh)
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### Passage à la 3D
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Il s'agit maintenant de faire la même chose, mais en 3D avec des
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tétraèdrisation P1-Lagrange. C'est loing d'être une petite modification
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locale à un fichier et un minimum de méthodologie était nécessaire.
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*Modifications portant sur le projet*
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Dans un premier temps, j'ai recopié l'ensemble du répertoire, et effacé
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tous les fichiers dont je n'avais pas besoin (comme par exemple
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Element_P2h.cpp ou BamgFreeFem.\*). Le fichier Makefile est modifié en
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conséquence.
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Puis j'ai créé les classes R3 (déjà à peu près faite) et Tetraedre. J'ai
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modifié l'existant pour qu'au lieu d'utiliser des points R2, des
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segments et des triangles, on utilise respectivement des points R3, des
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triangles et des tetraèdres. En particulier, j'ai trouvé pratique de ne
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pas du tout utiliser R2, et de refaire R3 from scratch. La première
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raison est que R3 héritait de R2 et cela soulevait de nombreux bugs (par
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exemple si l'opérateur produit scalaire n'est pas défini dans R3, le
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compilateur caste automatiquement et silencieusement les points sur des
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R2 et utilise le produit scalaire R2..). La deuxième raison est que cela
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permet, grace aux erreurs du compilateur, de trouver toutes les
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occurences de R2 à remplacer.
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Ensuite j'ai modifié la fonction Mesh::read() pour être capable de lire
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les fichiers générés par Mefisto dans le cas 3D. J'ai utilisé le fichier
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hexaedre.msh pour valider cette partie.
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S'est alors posé le problème de FESpace. Cette classe, ainsi que celles
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associées, sont difficiles à comprendre et surtout à modifier. Ainsi,
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après plusieurs jours passés à me battre avec ces fichiers, et ayant
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constaté que ce dont je me servais dans FESpace était en fait
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directement issu de la classe Mesh, j'ai décidé de supprimer cet
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intermédiaire. Ce qui n'a posé aucun problème (ce qui ne signifie pas
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pour autant que cela ait été rapide). Par exemple le champs
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FESpace.NbOfDF est en fait TTh.nv, etc...
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Attention, la classe FESpace a un rôle dans fem-v5 En particulier, mais
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pas seulement, celui de gérer les Mortars. C'est parce que je limitais
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les possibilités du programme que j'ai pu faire cela.
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Pour la fonction gradgrad(), j'ai besoin du gradient des fonctions
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chapeau sur les tétraèdres. Si on considère un sommet A d'un tétraèdre,
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alors, le gradient de la fonction chapeau valant 1 en A et 0 sur les
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autres sommets est un vecteur, constant sur le tetraedre, de direction
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la hauteur issue de la face opposée a A, et de longueur l'inverse de
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cette hauteur. Ce qui est realisé par la fonction
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` R3 Tetraedre::H( int i ) const`
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` { assert( i>=0 ); assert( i<4 );`
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` `
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` // si i est impair, on inverse c et b pour`
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` // avoir les indices dans l ordre direct`
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` R3 &D = *(vertices[ i ]),`
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` &C = *(vertices[ (i+1 + (i%2))%4 ]),`
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` &B = *(vertices[ (i+2 - (i%2))%4 ]),`
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` &A = *(vertices[ (i+3)%4 ]);`
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` `
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` // check we took the coordinates in the right order`
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` assert ( ((B-A)^(C-A),(D-A)) >0 );`
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` `
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` // On cherche HD, avec H dans le plan ABC et HD perpendiculaire a ce plan`
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` R3 h = ( B-A )^( C-A ); // normal a la face ABC`
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` R norm = Norme2(h);;`
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` h /= norm; // h est unitaire`
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` h /= (6.* volume/norm); // on divise par la longueur de la hauteur`
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` return h;`
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` } `
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J'ai reimplémenté les formules d'intégrations numériques sans utiliser
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celles de fem v5. Par curiosité, et aussi dans un soucis de clarté. En
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effet, fem-v5 utilise trois fichiers (FormuleIntegration.cpp
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FormuleIntegration.hpp QuadratureFormular.hpp), les coefficients sont
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normalisés (QuadratureFormular1d) ou pas (P_QuadratureFormular_T\*),
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l'implémentation utilise parfois des structures, parfois des tableaux ou
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même des classes..
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J'ai réussi à garder le fichier gibbs.cpp, qui contient un algorithme
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pour renumeroter les éléments du maillage pour optimiser le skyline (et
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donc la taille en mémoire) de la matrice creuse.
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*Modifications portant sur le programme principal*
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Quelques modifications triviales : les matrices diagonales des tenseurs
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de conductivités ont maintenant 3 éléments, passage de area à volume
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dans la fonction gradgrad(), on utilise plus FESpace..
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Puis, pour chaque étape, on adapte à la 3D, en se basant sur notre
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nouvelle infrastructure. Pour construire le second membre, on ne
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travaille plus avec des triangles mais avec des tétraèdres et on utilise
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une formule d'intégration 3D. Et Ainsi de suite...
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*Tests*
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Vu l'ampleur des modifications apportées, j'ai prévu de nombreux tests,
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du plus simple au plus complet. Pour chaque test, j'ai un fichier (par
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exemple donnees_dirichlet_uniforme.cpp), et selon le test que je veux
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effectuer, j'inclus le fichier correspondant. Cela evite les multiples
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\#if/#endif dans le code et le rends plus lisible.
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Le premier test consiste à imposer une température nulle sur toutes les
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faces. On test ainsi que le programme compile et link, et qu'au moins
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sur un exemple aussi trivial, on obtient bien la bonne température.
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Le deuxieme test (donnees_dirichletnul.cpp) impose une température nulle
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au bord, mais avec un fOmega non nul. Il permet de tester la
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construction du second membre, la construction et l'inversion de la
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matrice.
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Le troisième test est une fonction quelconque. J'ai pris
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2.x.y.z-10.y.x^2+6.x.z^2 , qui n'est pas nulle sur le bord, et dont le
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laplacien n'est pas nul non plus : cela permet de tester, en plus des
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tests précédents, les conditions au bords : Dirichlet, puis Neumann, et
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enfin Robin/Fourier.
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Enfin le test **donnees_x2y2z2.cpp** est l'exemple classique, et m'a
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permis de comparer les resultats obtenus avec d'autres eleves.
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*Résultats*
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- **donnees_dirichlet_uniforme.cpp** : j'obtiens exactement la
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temperature attendue.
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- **donnees_dirichletnul.cpp** : la aussi j'obtiens exactement la
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temperature attendue.
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` Max des carres obtenu : 0.000000`
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` sqrt : 0.000000`
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` Min,Max des tetas obtenu : 0.000000, 1.926837`
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` Min,Max des tetas reels : 0.000000, 1.926837`
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` Taux d'erreur : 0.000000`
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- **donnees_quelconque.cpp** : donnees de Dirichlet : La aussi
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j'obtiens exactement la temperature attendue.
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` Max des carres obtenu : 0.000000`
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` sqrt : 0.000000`
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` Min,Max des tetas obtenu : -100.000000, 60.000000`
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` Min,Max des tetas reels : -100.000000, 60.000000`
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` Taux d'erreur : 0.000000`
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- **donnees_quelconque.cpp** : donnees de Dirichlet, de Neumann et de
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Robin/Fourier : (c'est le cas le plus difficile)
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` Max des carres obtenu : 62.684211`
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` sqrt : 7.917336`
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` Min,Max des tetas obtenu : -96.800396, 53.333334`
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` Min,Max des tetas reels : -100.000000, 60.000000`
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` Stats under,toomuch : 830, 54`
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` Taux d'erreur : 4.948335`
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### Exemple 3D
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Pour l'exemple 3D, j'ai voulu modéliser la température de l'eau d'un
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chauffe-eau, tel que ceux utilisés pour faire du thé, du café.. J'ai
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donc modélisé sous Mefisto un cylindre (le contenant), et un hexaèdre
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oblong (résistance chauffante).
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J'ai triangulé ces deux surfaces..., j'ai 'amelioré' (option 30 du menu
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surfaces) ces deux surfaces. J'ai ensuite créé un volume (option 8) avec
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ces deux surfaces fermées. Puis j'ai essayé de tétraedriser ce volume
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grace à l'option 9 du menu surface. Je n'ai jamais reussi. Je me suis
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battu pendant une semaine, et jusqu'a 5h du matin la veille de la
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soutenance mais je n'obtient que "TABLEAU PTXYZD SATURE".
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J'ai essayé avec l'hexaèdre seul, j'ai essayé avec une sphère, j'ai
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essayé tous les paramètres possibles pour cette option 9. C'est un
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echec.
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**UPDATE** M.Perronnet m'a expliqué le problème : la surface inférieur
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de l'hexaèdre de la résistance est confondu avec le disque inférieur du
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cylindre, c'est ce qui pose problème à Mefisto. A la rigueur, si le
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maillage correspondait, cela serait peut-être passé... |
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\ No newline at end of file |
